BENTUK ALJABAR
1.1
Bentuk Aljabar dan Unsur – Unsurnya.
Perhatikan
ilustrasi berikut,
|
Bentuk seperti (x+5)
disebut Bentuk Aljabar.
Contoh lain bentuk aljabar yaitu 2x, a2, 3b, (a2
+ 2a + 3b), (2x + 3), -5x(x-1),
dan lain – lain.
Bentuk aljabar adalah suatu
bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf – huruf untuk mewakili
bilangan yang belum diketahui.
Pada suatu bentuk aljabar,
terdapat unsur – unsur aljabar, yaitu:
·
Variabel (lambang yang menyatakan suatu anggota sembarang bilangan)
·
Konstanta (lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu : bilangan
konstan atau tetap)
·
Koefisien (lambang yang memuat suatu variabel)
Contoh 1:
Ø Pada bentuk aljabar 5x
– 3y + 6. Tentukan mana yang
merupakan variabel, konstanta dan koefisien !
Jawab:
v Variabel dari bentuk aljabar tersebut adalah x dan y.
v Konstanta bilangan aljabar tersebut adalah 6.
v Koefisien dari x
adalah 5.
v Koefisien dari y
adalah -6.
Contoh 2:
Ø Tentukanlah variabel,
koefisien, dan konstanta dari 2x2
+ 
- 5 !
- 5 !
Jawab:
v Variabel dari bentuk aljabar tersebut adalah x2 dan x.
v Konstanta bilangan aljabar tersebut adalah -5.
v Koefisien dari x2
adalah 2.
v Koefisien dari x
adalah 
.
.
§ Faktor adalah bagian dari suatu hasil kali.
Perhatikan contoh
berikut ini!
v 5x7x11 dapat ditulis 5 . 7 . 11 → 5, 7, 11 disebut faktor.
v (x + 2) (3x – 5) mempunyai faktor x + 2 dan 3x – 5.
§ Suku adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh tanda
(+) atau tanda (-).
Perhatikan contoh
berikut ini!
v 3x merupakan
bangun aljabar suku satu sehingga disebut suku
tunggal.
v 2x + 5 terdiri
dari dua suku yaitu 2x dan 5 sehingga
disebut suku dua (binom).
v 3x – 2y + 6 terdiri dari 3 suku yaitu 3x, -2y
dan 6 sehingga disebut suku tiga (trinom).
v 8a – 3b + 4c
+ d terdiri dari 4 suku yaitu 8a, 3b,
4c dan d. Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku atau lebih disebut suku banyak (polinom).
1.2
Operasi Pada Bentuk Aljabar.
·
Penjumlahan dan
Pengurangan Bentuk Aljabar.
Pada bentuk aljabar, operasi
penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku – suku yang
sejenis.
Contoh 3:
Ø Tentukanlah hasil
penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut:
a.
-4ax + 7ax
b.
(2x2 – 3x + 2) + (4x2
– 5x +1)
Jawab:
a.
-4ax + 7ax = (-4 + 7)ax
= 3ax
b.
(2x2 – 3x + 2) + (4x2
– 5x + 1)
= 2x2 – 3x + 2 + 4x2 –
5x + 1
= 2x2 + 4x2 – 3x – 5x + 2 + 1
= (2 + 4)x2 + (-3 – 5) x + (2 + 1) → (kelompokkan suku – suku
sejenis)
= 6x2 – 8x + 3
·
Perkalian.
Pada perkalian
bentuk aljabar berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dimana a x (b
+ c) = (a x b) + (a x c)
dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan dimana a x (b
- c) = (a x b) - (a x c).
A.
Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar
Perkalian suatu
bilangan konstanta k dengan bentuk
aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan
sebagai berikut:
k(ax) = kax
k(ax + b) = kax
+ kb
Contoh 4:
Ø 3(5x + 2y) = (3 . 5x) + (3 . 2y)
= 15x + 6y
Ø -5(3x – 2y + z)
= (-5 . 3x) – (-5 . 2y) + (-5 . z)
= -15x + 10y - 5z
Ø 4(2p – 7) + 3(5p + 2) = 8p – 28 + 15p + 6
=
8p + 16p - 28 + 6
=
23p – 22
B.
Perkalian antara dua bentuk aljabar
Untuk menentukan hasil kali
antara dua bentuk aljabar, kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian
terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.
Selain dengan cara tersebut,
untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara
sebagai berikut:
Perhatikan perkalian antara
bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut:
 |
(ax + b)
(cx + d) = ax x cx + ax
x d + b x cx + b x d
=
acx2 + (ad + bc)x + bd
Selain dengan cara skema seperti diatas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku
dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut:
(ax + b)
(cx + d) = ax(cx + d)
+ b(cx + d)
= ax x cx + ax x d + b
x cx + b x d
= acx2 + adx + bcx + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd
Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku
sebagai berikut:
 |
(ax + b)
(cx2 + dx +
e)
= ax x cx2
+ ax x dx + ax x e + b
x cx2 + b x dx
+ b x e
= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be
= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be
Contoh 5:
Ø (x + 2) (x - 5) = x2 - 5x + 2x – 10
= x2 - 3x – 10
Ø (2p – 3q) (3p
+ 4q) = 2p(3p + 4q) – 3q(3p + 4q)
= 6p2 + 8pq - 9pq - 12q2
= 6p2
- pq - 12q2
·
Perpangkatan.
Untuk sembarang
bilangan a, a2 = a x a sehingga dapat dijabarkan pengertian
berikut:
b2 = b x b
(-b) 2 = (-b) x (-b)
- b 2 = -( b x b)
(2b) 2 = 2b x 2b
Pangkat dua dari
suku dua:
(a + b)
2 = a2 + 2ab + b2
dan (a – b) 2 = a2
– 2ab + b2
Pangkat tinggi dari
suku dua:
(a + b)
3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 , (a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 dan seterusnya.
|
1
1 1
1 2 1
1 3 3
1
1 4 6
4 1
1 5 10
10 5 1
1 6 15
20 15 6
1
Dan seterusnya…
Penjabaran (a + b) 2 pada masing – masing suku
mempunyai koefisien 1, 2, 1. Dan seterusnya.
·
Pembagian.
Pembagian pada bentuk aljabar
dapat diartikan sebagai pecahan bentuk aljabar.
Contoh 6:
Ø 3x2y : 2xy
dapat ditulis 
Ø (x2 –
4) : (4x + 4) dapat ditulis 
Sehingga, menyelesaikan pembagian
bentuk aljabar sama artinya dengan menyederhanakan bentuk pecahan aljabar
tersebut.
Hasil pembagian dua bentuk
aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk yang paling sederhana dengan
memperhatikan faktor – faktor atau variabel – variabel yang sama.
Contoh 7:
Ø 5a : a = 5 → faktor yang sama adalah a
Ø 8xy : 4y = 2x
→ faktor yang sama adalah 4y
Contoh 8:
Ø 
·
KPK dan FPB Bentuk
Aljabar.
Suatu bilangan dapat dinyatakan
dalam bentuk perkalian bilangan prima. Faktor prima beberapa bilangan dapat
digunakan untuk menghitung KPK dan FPB bilangan – bilangan tersebut.
·
KPK (Kelipatan
Persekutuan Terkecil) merupakan hasil
perkalian faktor – faktor prima dan variabel yang berbeda dengan mengambil
pangkat yang tertinggi.
a = a x 1, maka a memiliki tepat dua faktor yang berbeda
sehingga a dapat disebut sebagai bentuk aljabar prima.
Contoh 9:
Ø 2ab = 2 x a x b
3a2c = 3 x a2 x c
KPK dari 2ab dan 3a2c = 2 x 3 x a2 x b x c
= 6a2bc
·
FPB (Faktor
Persekutuan Terbesar) merupakan hasil
perkalian faktor – faktor prima dan variabel yang sama dengan mengambil pangkat
yang terendah.
Contoh 10:
Ø 4ab = 22
x a x b
6a2c = 2 x 3 x a2
x c
KPK dari 4ab dan 6a2c = 2 x a
= 2a
1.3
Pecahan Bentuk Aljabar.
Pecahan bentuk aljabar, yaitu
pecahan yang pembilang atau penyebut atau kedua – duanya berbentuk aljabar.
Misalnya: 
dan lain – lain.
dan lain – lain.
·
Menyederhanakan
Pecahan Bentuk Aljabar.
Suatu pecahan bentuk aljabar
dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor
persekutuan kecuali satu dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Menyederhanakan
pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan
penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.
Contoh 11:
Ø Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut, jika x, y
≠ 0
a.
→ FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, maka
→ FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, maka
b.
→ FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy,
maka
→ FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy,
maka
·
Operasi Hitung
Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal.
a.
Penjumlahan dan Pengurangan.
Operasi penjumlahan dan
pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian
menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Untuk menyamakan penyebut kedua
pecahan, tentukan KPK dari penyebut – penyebutnya. Dengan hal yang sama itu
juga berlaku pada operasi hitung pecahan aljabar.
Contoh 12:
Ø Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk
aljabar berikut:
1.
2.
b.
Perkalian dan Pembagian.
Bentuk perkalian pecahan dapat
dinyatakan sebagai berikut:
; untuk b, d ≠ 0
Hal ini juga berlaku
untuk perkalian pada pecahan aljabar.
Contoh 13:
Ø Tentukan hasil perkalian pecahan bentuk aljabar berikut:
1.
2.
3.
Pembagian merupakan invers
(operasi kebalikan) dari operasi perkalian. Maka membagi dengan suatu pecahan
sama artinya dengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan tersebut.
untuk b ≠ 0, c ≠ 0
untuk b ≠ 0, c ≠ 0
untuk b ≠ 0, c ≠ 0
Hal ini juga berlaku untuk pembagian pada pecahan aljabar (bentuk aljabar).
Contoh 14:
Ø Sederhanakan pembagian pecahan bentuk aljabar berikut:
1.
2.
3.
c.
Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar.
Bentuk berikut juga berlaku pada
perpangkatan pecahan bentuk aljabar.
; 
; 
; 
sebanyak n kali
Contoh 15:
Ø Sederhanakan perpangkatan pecahan bentuk aljabar berikut:
1.
2.
v LATIHAN SOAL:
1.
Suku – suku sejenis
dari 3ap2 – 5a2p + 6ap2 – a2p2 adalah …
2.
Hasil dari 5pq x (-4p) x (-2pr) adalah …
3.
Hasil dari –(5p2q2)3 adalah …
4.
Hasil dari 6p2q3z4
: 3pq2z2 adalah …
5.
-3(4x - 5y)
dinyatakan dalam bentuk jumlah atau selisih menjadi …
6.
Jika P = 4x2 + 3x dan Q = 5x – x2, maka P – 2Q = …
7.
KPK dari p2qr, q3rs2 dan qr2s3
adalah …
8.
FPB dari ab2c3 dan b3c2d adalah …
9.
Hasil dari 
= …
= …
10. Tentukan hasil dari 
!
!
Tidak ada komentar:
Posting Komentar